已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD=16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向AB、AD作垂线段，垂足分别为E、F．（1）如图1，求证：△PBE∽△PDE；（2）连接PC，当PE+PF+PC取最小值时，

Question

已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD=16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向AB、AD作垂线段，垂足分别为E、F．

（1）如图1，求证：△PBE∽△PDE；
（2）连接PC，当PE+PF+PC取最小值时，求线段BP的长；
（3）如图2，对角线BD、AC交于点O，作以PO为半径（PO＞0）的⊙P，试求
①⊙P与线段BC有一个公共点，线段BP长度的取值范围；
②⊙P与线段BC有两个公共点时，线段BP长度的取值范围．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠ADB，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴∠BEP=∠DFP=90°，
∴△PBE∽△PDF；

（2）如图1，连接AC交BD于O，延长FP交BC于M，
则FM⊥BC，
∵菱形ABCD，
∴∠ABD=∠CBD，
∵PM⊥BC，PE⊥AB，
∴PE=PM，
∴PE+PF=PM+PF=FM，
在直角三角形AOB中，BO=(1)/(2)BD=8，
∴AO=√(AB2−BO2)=√(102−82)=6，
∴AC=2AO=12，
∵S_菱形ABCD=(1)/(2)AC•BD=BC•FM，
∴FM=(48)/(5)，
因此，要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值，
所以当CP⊥BD时，即P和O重合时，PC最小，此时BP=BO=(1)/(2)BD=8．

（3）①过P作PG⊥BC于G，设PB=x，当P在线段BO上时，PO=8-x，PG=(3)/(5)x，
如图2、当PO=PG时，⊙P与直线BC相切，8-x=(3)/(5)x，x=5；
如图3、当OP=PB时，⊙P经过B点，8-x=x，x=4，
即当0＜x≤4或x=5时，⊙P与线段BC有一个公共点，
∴⊙P与线段BC有一个公共点，线段BP长度的取值范围是0＜BP≤4或BP=5时；
②由①知：当4＜x＜5时，⊙P与线段BC有两个公共点，
当P在线段OD上时，PO=x-8，PG=(3)/(5)x，
当PO=PG时，⊙P与直线BC相切，x-8=(3)/(5)x，
x=20＞BD，
即此时⊙P不可能与直线BC相切，更不可能相交，
综合所述，4＜BP＜5时，⊙P与直线BC有两个公共点，
即⊙P与线段BC有两个公共点时，线段BP长度的取值范围是4＜BP＜5．