已知函数f(x)=(根号3sinωx/2+cosωx/2)cosωx/2-1/2,(ω>0)的最小正周期为2π.（1）求f（5π/4）的值；（2）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别a,b,c,且满足（2a-c）cosB=bcosC,求函数f（A）的取值范围

Question

已知函数f(x)=(根号3sinωx/2+cosωx/2)cosωx/2-1/2,(ω>0)的最小正周期为2π.
（1）求f（5π/4）的值；
（2）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别a,b,c,且满足（2a-c）cosB=bcosC,求函数f（A）的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=[(√3)sin(ωx/2)+cos(ωx/2)]cos(ωx/2)-1/2,(ω>0)的最小正周期为2π.
(1)求f（5π/4）的值；(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别a,b,c,且满足
(2a-c)cosB=bcosC,求函数f（A）的取值范围
(1).f(x)=(√3/2)sin(ωx)+(1+cosωx)/2-1/2=sin(ωx+π/6)
T=2π/ω=2π,故ω=1,于是f(x)=sin(x+π/6)
f(5π/4)=sin(5π/4+π/6)=sin[π+(π/4+π/6)]=-sin(π/4+π/6)
=-[sin(π/4)cos(π/6)+cos(π/4)sin(π/6)]=-(√2/2)(√3/2+1/2)=-(√6+√2)/4
(2).由(2a-c)cosB=bcosC,得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
即有2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sin(π-A)=sinA；
∴sinA(2cosB-1)=0,sinA≠0,故必有cosB=1/2,即B=π/3；A+C=π-π/3=2π/3；
故A=2π/3-C,∴0