已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D为AB的中点，P为直线AB上一动点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．求证：DE=DF．

Question

已知在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D为AB的中点，P为直线AB上一动点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．求证：DE=DF．

Answer 1

证明：∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠AEP=∠CEP=∠CFP=90°．
∵∠C=90°，
∴四边形EPFC是矩形，
∴CF=EP．
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠45°，
∴∠1=∠A，
∴AE=PE．
∴AE=CF．
∵∠C=90°，AC=BC，D为AB的中点，
∴CD=AD=BD=(1)/(2)AB．∠DCF=(1)/(2)∠ACB=45°，
∴∠A=∠DCF．
在△AED和△CFD中

AE＝CF

∠A＝∠DCF

AD＝CD

，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE=DF．