（2011•长宁区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-2x2+4x+6与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于C点，顶点为D．过点C、D的直线与x轴交于E点，以OE为直径画⊙O1，交直线CD于P

Question

（2011•长宁区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-2x²+4x+6与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于C点，顶点为D．过点C、D的直线与x轴交于E点，以OE为直径画⊙O₁，交直线CD于P、E两点．
（1）求E点的坐标；
（2）连接PO₁、PA．求证：△BCD∽△PO₁A；
（3）①以点O₂（0，m）为圆心画⊙O₂，使得⊙O₂与⊙O₁相切，当⊙O₂经过点C时，求实数m的值；
②在①的情形下，试在坐标轴上找一点O₃，以O₃为圆心画⊙O₃，使得⊙O₃与⊙O₁、⊙O₂同时相切．直接写出满足条件的点O₃的坐标（不需写出计算过程）．

Answer 1

（1）y=-2x²+4x+6=-2（x-1）²+8，
∴C（0，6），D（1，8），
设直线CD：y=kx+b（k≠0）将C、D代入得

b＝6

8＝k+6

，
解得

k＝2

b＝6

，
∴CD直线解析式：y=2x+6，当y=0，x=-3，
∴E（-3，0）；

（2）令y=0得-2x²+4x+6=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
又∵O（0，0）、E（-3，0），
∴以OE为直径的圆心O1(−(3)/(2)，0)、半径r1＝(3)/(2)．
设P（t，2t+6），
由PO1＝(3)/(2)得√((t+(3)/(2))2+(2t+6)2)＝(3)/(2)，
解得：t ₁=-(12)/(5)，t ₂=-3（舍），
∴P(−(12)/(5)，(6)/(5))，
∴PA＝(√(85))/(5)，AO1＝(1)/(2)，
又DC＝√(5)，CB＝3√(5)，DB＝2√(17)，
∴(DC)/(AO1)＝(CB)/(PO1)＝(DB)/(PA)＝2√(5)，
∴△BCD∽△PO₁A；

（3）①O1(−(3)/(2)，0)，r1＝(3)/(2)，O₂（0，m）
据题意，显然点O₂在点C下方r₂=O₂C=6-m，
当⊙O₂与⊙O₁外切时O₁O₂=r₁+r₂，
代入得√(((3)/(2))2+m2)＝(3)/(2)+(6−m)，
解得：m1＝(18)/(5)，m2＝2（舍），
当⊙O₂与⊙O₁内切时O₁O₂=|r₁-r₂|，
代入得√(((3)/(2))2+m2)＝|(3)/(2)−(6−m)|，
解得：m1＝2，m2＝(18)/(5)（舍），
∴m1＝(18)/(5)，m2＝2，

②当⊙O₃与⊙O₂圆心重合时O3(0，(18)/(5))，O₃（0，2），
当⊙O₁与⊙O₂外切时，O3((3)/(2)，0)，O3(0，(14)/(15))，O3((21)/(2)，0)，O3(0，−(10)/(7))；
当⊙O₁与⊙O₂内切时O3(−(45)/(14)，0)．