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已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2n−c.(1)求c的值并求数列{an}的通项公式;(2)若bn=n•an,求数列{bn}的前n项和Tn.
题目详情
已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2n−c.
(1)求c的值并求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=n•an,求数列{bn}的前n项和Tn.
(1)求c的值并求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=n•an,求数列{bn}的前n项和Tn.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵等比数列{an}的前n项和为Sn=2n−c,
∴a1=S1=2-c,
a2=S2-S1=(4-c)-(2-c)=2,
a3=S3-S2=(8-c)-(4-c)=4,
∵{an}是等比数列,
∴a22=a1•a3,即22=(2-c)×4,
解得c=1.
∵q=
=
=2.a1=2-1=1,
∴an=2n-1.
(2)∵an=2n−1,
∴bn=n•an=n•2n-1,
∴Tn=1+2•2+3•2n+…+n•2n-1,①
∴2Tn=1•2+2•22+…+(n-1)•2n-1+n•2n,②
①-②,得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n•2n
=
-n•2n
=2n-1-n•2n,
∴Tn=(n-1)•2n+1.
∴a1=S1=2-c,
a2=S2-S1=(4-c)-(2-c)=2,
a3=S3-S2=(8-c)-(4-c)=4,
∵{an}是等比数列,
∴a22=a1•a3,即22=(2-c)×4,
解得c=1.
∵q=
a3 |
a2 |
4 |
2 |
∴an=2n-1.
(2)∵an=2n−1,
∴bn=n•an=n•2n-1,
∴Tn=1+2•2+3•2n+…+n•2n-1,①
∴2Tn=1•2+2•22+…+(n-1)•2n-1+n•2n,②
①-②,得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n•2n
=
1−2n |
1−2 |
=2n-1-n•2n,
∴Tn=(n-1)•2n+1.
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