已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n−c．（1）求c的值并求数列{an}的通项公式；（2）若bn=n•an，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n−c．
（1）求c的值并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n−c，
∴a₁=S₁=2-c，
a₂=S₂-S₁=（4-c）-（2-c）=2，
a₃=S₃-S₂=（8-c）-（4-c）=4，
∵{a_n}是等比数列，
∴a22＝a1•a3，即2²=（2-c）×4，
解得c=1．
∵q=(a3)/(a2)=(4)/(2)=2．a₁=2-1=1，
∴a_n=2^n-1．
（2）∵an＝2n−1，
∴b_n=n•a_n=n•2^n-1，
∴T_n=1+2•2+3•2ⁿ+…+n•2^n-1，①
∴2T_n=1•2+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，②
①-②，得-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=(1−2n)/(1−2)-n•2ⁿ
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．