（选做2）已知当a≠b及n∈N*时有公式：an+an-1b+…+arbn-r+…+abn-1+bn=bn+1−an+1b−a（1）利用上述公式证明：对于0＜a＜b，有（n+1）（b-a）an＜bn+1-an+1＜（n+1）（b-a）bn．（2）证明：对一切n∈N*

Question

（选做2）已知当a≠b及n∈N*时有公式：aⁿ+a^n-1b+…+a^rb^n-r+…+ab^n-1+bⁿ=(bn+1−an+1)/(b−a)
（1）利用上述公式证明：对于0＜a＜b，有（n+1）（b-a ） aⁿ＜b ⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹＜（n+1）（b-a） bⁿ．
（2）证明：对一切n∈N*，有（1+(1)/(n)）ⁿ＜（1+(1)/(n+1)）ⁿ⁺¹．

Answer 1

（1）根据公式只需证明：（n+1）aⁿ＜aⁿ+a^n-1b+…+a^rb^n-r+…+ab^n-1+bⁿ＜（n+1）bⁿ．
∵0＜a＜b
∴（n+1）aⁿ＜aⁿ+a^n-1b+…+a^rb^n-r+…+ab^n-1+bⁿ＜（n+1）bⁿ．
故对于0＜a＜b，有（n+1）（b-a ） aⁿ＜b ⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹＜（n+1）（b-a） bⁿ．
证明：（2）由（1）中（n+1）（b-a ） aⁿ＜b ⁿ⁺¹-aⁿ⁺¹
令a=（1+(1)/(n+1)），b=（1+(1)/(n)）
则（n+1）[（1+(1)/(n)）-（1+(1)/(n+1)）]（1+(1)/(n)）ⁿ＜（1+(1)/(n+1)）ⁿ⁺¹-（1+(1)/(n)）ⁿ⁺¹，
即（n+1）（(1)/(n)-(1)/(n+1)）（1+(1)/(n)）ⁿ＜（1+(1)/(n+1)）ⁿ⁺¹-（1+(1)/(n)）ⁿ⁺¹，
即[（1+(1)/(n)）-1]（1+(1)/(n)）ⁿ＜（1+(1)/(n+1)）ⁿ⁺¹-（1+(1)/(n)）ⁿ⁺¹，
即（1+(1)/(n)）ⁿ-（1+(1)/(n)）ⁿ⁺¹＜（1+(1)/(n+1)）ⁿ⁺¹-（1+(1)/(n)）ⁿ⁺¹，
即（1+(1)/(n)）ⁿ＜（1+(1)/(n+1)）ⁿ⁺¹，