U,V服从N(0,1)且相互独立,求X(t)=Ut+Vt^2的一维概率密度函数

Question

U,V服从N(0,1)且相互独立,求X(t)=Ut+Vt^2的一维概率密度函数

Answer 1

下面给出求X概率密度的标准步骤.U及V的概率密度分别为：fu(u)=[1/√(2π)]e^[(u^2)/2]、fv(v)=[1/√(2π)]e^[(v^2)/2]；由于U、V相互独立,所以U、V的联合概率密度为f(u,v)=fu(u)fv(v)；设X的分布函数为Fx(x),则当t＞0时,Fx(x)=P｛X≦x｝=P｛Ut+Vt^2≦x｝=∫(-∞→+∞)dv∫(-∞→x/t-vt)duf(u,v)=∫(-∞→+∞)dvfv(v)∫(-∞→x/t-vt)dufu(u),令u=ξ/t-vt,du=dξ/t,所以∫(-∞→x/t-vt)dufu(u)=∫(-∞→x)dξ/tfu(ξ/t-vt),所以Fx(x)=∫(-∞→+∞)[(1/t)∫(-∞→x)fu(ξ/t-vt)dξ]fv(v)dv=∫(-∞→x)[∫(-∞→+∞)(1/t)fu(ξ/t-vt)fv(v)dv]dξ,根据概率密度的定义,X的概率密度fx(x)=dFx(x)/dx,所以fx(x)=∫(-∞→+∞)(1/t)fu(x/t-vt)fv(v)dv(将方括弧内的ξ换作x即可),将U、V的概率密度代入并整理得fx(x)=[1/(2πt)]e^｛-(x^2)/[2(1+t^2)t^2]｝∫(-∞→+∞)e^｛-[√(1+t^2)v-x/√(1+t^2)]^2/2｝dv,令η=[√(1+t^2)v-x/√(1+t^2)]/√2,则fx(x)=[1/(2πt)]e^｛-(x^2)/[2(1+t^2)t^2]｝√[2/(1+t^2)]∫(-∞→+∞)e^(-η^2)dη,∫(-∞→+∞)e^(-η^2)dη=√π,所以fx(x)=｛1/[√(2π)t√(1+t^2)]｝e^｛-(x^2)/[2(1+t^2)t^2]｝①；当t＜0时,用同样的方法可得fx(x)=｛1/[√(2π)(-t)√(1+t^2)]｝e^｛-(x^2)/[2(1+t^2)t^2]｝②；所以可统一合并为fx(x)=｛1/[√(2π)|t|√(1+t^2)]｝e^｛-(x^2)/[2(1+t^2)t2]｝③,③式即为t≠0时X的概率密度,可见这时X服从均值为0、方差σ^2=(1+t^2)t^2的正态分布；当t=0时,σ^2=0,X依概率1取常数0.