如图，在等腰直角三角形△OPQ中，∠POQ=90°，OP=22，点M在线段PQ上．（1）若OM=5，求PM的长；（2）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值

Question

如图，在等腰直角三角形△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2√(2)，点M在线段PQ上．
（1）若OM=√(5)，求PM的长；
（2）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．

Answer 1

（1）在△OPQ中，∠OPQ=45°，OM=√(5)，OP=2√(2)，
由余弦定理得，OM²=OP²+MP²-2•OP•MPcos45°，
得MP²-4MP+3=0，解得MP=1或MP=3．…6
（2）设∠POM=α，0°≤α≤60°，
在△OMP中，由正弦定理，得(OM)/(sin∠OPM)＝(OP)/(sin∠OMP)，
所以OM＝(OPsin45°)/(sin(45°+α))，同理ON＝(OPsin45°)/(sin(75°+α)) …8′
S_△OMN=(1)/(2)×OM×ON×sin∠MON=(1)/(4)×(OP2sin245°)/(sin(45°+α)sin(75°+α)) …10
=(1)/(sin(45°+α)sin(75°+α))=(1)/(sin(45°+α)[(√(3))/(2)sin(45°+α)+(1)/(2)cos(45°+α)])
═(1)/((√(3))/(2)sin2(45°+α)+(1)/(2)sin(45°+α)cos(45°+α)])
=(1)/((√(3))/(4)+(√(3))/(4)sin2α+(1)/(4)cos2α)=(1)/((√(3))/(4)+(1)/(2)sin(2α+30°)) …14
因为0°≤α≤60°，30°≤2α+30°≤150°，
所以当α=30°时，sin（2α+30°）的最大值为1，
此时△OMN的面积取到最小值．
即∠POM=30°时，△OMN的面积的最小值为8-4√(3)．…16