△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；（2）在图1中，连接AE交BC于M，求ADBM

Question

△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．
（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；
（2）在图1中，连接AE交BC于M，求(AD)/(BM)的值；
（3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH，当点D在边AB上运动时，探究线段HE，HG与DG之间的数量关系，并证明你的结伦．

Answer 1

（1）证明：∵△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=90°．
∴CD=CE，∠DCB+∠ECF=90°，
∵EF⊥BC，
∴∠ECF+∠CEF=90°，
∴∠DCB=∠CEF，
在△DBC和△CEF中，

∠DBC=∠CFE

∠DCB=∠CEF

CD=EC

，
∴△DBC≌△CFE；

（2） 如图1，
∵△DBC≌△CFE，
∴BD=CF，BC=EF，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∴AB=EF，AD=BF，
在△ABM和△EFM中，

∠AMB=∠EMF

∠ABM=∠EFM

AB=EF

，
∴△ABM≌△EFM，
∴BM=FM，
∴BF=2BM，
∴AD=2BM，
∴(AD)/(BM)的值为2；

（3） HE=GH+GD，
在EH上截取EQ=DG，如图2，
在△CDG和△CEQ中

DG=EQ

∠CDG=∠CEQ

CD=CE

，
∴△CDG≌△CEQ，
∴CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，
∵∠DCG+∠DCB=45°，
∴∠ECQ+∠DCB=45°，
而∠DCE=90°，
∴∠HCQ=45°，
∴∠HCQ=∠HCG，
在△HCG和△HCQ中，

HC=HC

∠HCG=∠HCQ

CG=CQ

，
∴△HCG≌△HCQ，
∴HG=HQ，
∴HE=HQ+QE=HG+DG．