在平面直角坐标系中，直线y=-512x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，P是射线AB上一动点，设AP=a，以AP为直径作C．（1）求cos∠ABO的值；（2）当a为何值时，C与坐标轴恰有3个公共点；（3）过P作PM⊥

Question

在平面直角坐标系中，直线y=-(5)/(12)x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，P是射线AB上一动点，设AP=a，以AP为直径作 C．

（1）求cos∠ABO的值；
（2）当a为何值时， C与坐标轴恰有3个公共点；
（3）过P作PM⊥x轴于M，与 C交于点D，连接OD交AB于点N，若∠ABO=∠D，求a的值．

Answer 1

（1）∵直线y=-(5)/(12)x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A （0，5），B （12，0），
∴AO=5，BO=12．
∵AO⊥BO，
∴AB=√(OA2+OB2)=13，
∴cos∠ABO=(BO)/(AB)=(12)/(13)；
（2） C与坐标轴恰有3个公共点时， C过原点O或 C与OB相切，
① C过原点O，
∴a=AB=13；
②如图1， C与OB相切，设切点为H，连接CH，则CH⊥OB，
∵AO⊥OB，
∴△BCH∽△BAO，
∴(BC)/(BA)=(CH)/(AO)，
∴(13-(1)/(2)a)/(13)=((1)/(2)a)/(5)，
∴a=(65)/(9)．
综上所述：a=13或a=(65)/(9)；
（3）如图2，连接AD，
∵AP是直径，
∴∠ADP=90°，
∵PM⊥x轴，
∴∠DMB=90°．
∵∠ABO=∠ODM，∠NPD=∠BPM，
∴∠DNP=∠BMP=90°，
∴∠ABO=90°-∠DOM=∠AOD，
∴tan∠AOD=tan∠ABO=(AO)/(BO)=(5)/(12)，
PM⊥x轴，AO⊥x轴，∠ADP=90°，
∴∠OAD=90°，
在Rt△ADO中，tan∠AOD=(AD)/(AO)=(5)/(12)，
∴AD=(5)/(12)×5=(25)/(12)，
又∵∠DAP=∠ABO，
在Rt△ADO中，cos∠DAP=(AD)/(AP)，
∴AP=(AD)/(cos∠DAP)=(AD)/(cos∠ABO)=(25)/(12)×(13)/(12)=(325)/(144)，
∴a=AP=(325)/(144)．