整系数多项式P（x）满足P（19）=P（94）=1994，求P（x）的常数项（已知它的绝对值小于1000）。

Question

整系数多项式P（x）满足P（19）=P（94）=1994，求P（x）的常数项（已知它的绝对值小于1000）。

Answer 1

设P(x)的常数项为a0，则 P(x)＝x•Q(x)+a0 其中Q(x)是整系数多项式，所以 P(19)＝19n+a0 P(94)=94m+a0 其中m、n为整数． 由P(19)=P(94)得19n=94m，所以 n=94k，m=19k(k为整数) 于是19•94k+a0=1994，由此得 a0=1994-1786k 因为｜a0｜＜1000，所以k=1，a0=208． 这样的多项式是存在的．例如 -x2+113x+208=-(x-19)(x-94)+1994 这是第二十届(1994年)全俄数学奥林匹克十年级题 6．