如题!在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知体对角线A1C=4,B1D=2,若空间一点P,使PA1=3,PC=5,则PB^2+PD^2=

Question

如题!
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知体对角线A1C=4,B1D=2,若空间一点P,使PA1=3,PC=5,则PB^2+PD^2=

Answer 1

在平行六面体AC1中,由于各侧面及底面均是平行四边形,可以推出A1D1平行于BC.
因此,四边形A1BCD1是平行四边形,其对角线A1C、BD1相交于一点且被这点平分.
设A1C∩BD1=O,则OB=OD1=1,A1O=2.
在△A1CP中,由A1C=4,PA1=3,PC=5,得∠PA1C=90°.
连结PO,则PO=√（PA12+A1O2）=√（9+4）=√13.
设∠POB=α,则∠POD1=180°-α.
在△POB中,PB2=PO2+OB2-2PO·OBcosα=14-2PO·cosα.
在△POD1中,PD12=PO2+OD12-2PO·OD1cos(180°-α)=14+2PO·cosα.
所以PB2+PD12=28