已知抛物线C：x2=2py（p＞0）,其焦点F到准线的距离为．（1）试求抛物线C的方程；（2）设抛物线C上一点P的横坐标为t（t＞0）,过P的直线交C于另一点Q,交x轴于M,过点Q作PQ的垂线交C于另一点N,若

Question

已知抛物线C：x2=2py（p＞0）,其焦点F到准线的距离为 ．
（1）试求抛物线C的方程；
（2）设抛物线C上一点P的横坐标为t（t＞0）,过P的直线交C于另一点Q,交x轴于M,过点Q作PQ的垂线交C于另一点N,若MN是C的切线,求t的最小值．
距离为1/2

Answer 1

（1）p=1/2,易得x²=y
（2）点P（t,t²）设PQ斜率k,当k不存在时,PQ交抛物线C仅有1点,不符题意,
当k=0时,PQ的垂线QN的斜率不存在,QN交抛物线C仅有1点,不符题意,故k存在.
则 PQ:y-t²=k(x-t) 韦达定理,xP+xQ=k (xP表示P点横坐标,下同) 已知xP=t,得xQ=k-t
QN垂直于PQ,QN斜率为-1/k,易得QN：y-(k-t)²=-1/k[x-(k-t)]
韦达定理xQ+xN=-1/k,已知xQ=k-t,易得xN=-1/k-k+t
yN=（-1/k-k+t）²
点M为PQ与x轴交点,易得M(t-t²/k,0),两点式得MN斜为 [(t-1/k-k)²]/(-1/k-k)
MN为抛物线C在N点切线,故求导知抛物线C在N点斜率为 2（-1/k-k+t）
化简[(t-1/k-k)²]/(-1/k-k)= 2（-1/k-k+t）
得t²=（1/k+k）²=1/k²+k²+2大于等于4
t>0 易得,t大于等于2
即t最小值 2