已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A（1，2）为抛物线C上一点．（1）求C的方程；（1）若点B（1，-2）在C上，过B作C的两弦BP与BQ，若kBP•kBQ=-2，求证：直线PQ过定点．

Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A（1，2）为抛物线C上一点．
（1）求C的方程；
（1）若点B（1，-2）在C上，过B作C的两弦BP与BQ，若k_BP•k_BQ=-2，求证：直线PQ过定点．

Answer 1

（1） 设抛物线方程为y²=ax，代入点A（1，2），可得a=4，∴抛物线方程为y²=4x；
设抛物线方程为x²=my，代入点A（1，2），可得m=(1)/(2)，∴抛物线方程为x²=(1)/(2)y；
∴C的方程是y²=4x或x²=(1)/(2)y；
（2）证明：由（1）可得C的方程是y²=4x．
直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y+2=k（x-1）
将直线BP的方程代入y²=4x，消去y，得k²x²-（2k²+4k+4）x+（k+2）²=0．
设 P（x₁，y₁），∴x₁=((k+2)2)/(k2)
∴P（((k+2)2)/(k2)，(2k+4)/(k)）
以-(2)/(k)替换点P坐标中的k，可得Q（（k-1）²，2-2k）
从而，直线PQ的斜率为((2k+4)/(k)-2+2k)/(((k+2)2)/(k2)-(k-1)2)=(2k3+4k)/(-k4+2k3+4k+4)=(2k)/(-k2+2k+2)
直线PQ的方程是y-2+2k=(2k)/(-k2+2k+2)[x-（k-1）²]．
在上述方程中，令x=3，解得y=2．
∴直线PQ恒过定点（3，2）．