已知直线l:y=x+m,m∈R,若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切点p,且点p在y轴上.问:是否存在平行于l的直线l',与圆相交于AB两点,使得以AB为直径的圆经过原点O?若存在,求出直线l'的方程,若不存在,说

Question

已知直线l:y=x+m,m∈R,若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切点p,且点p在y轴上 .问:是否存在平行于l的直线l',与圆相交于AB两点,使得以AB为直径的圆经过原点O?若存在,求出直线l'的方程,若不存在,说明理由

Answer 1

∵P点在直线l：y=x+m上
∴令x＝0则y＝m,∴P﹙0,m﹚
∵直线l与圆M相切于P
∴直线MP⊥l
∴Kmp×Kl＝﹣1
∴﹙0－m﹚／﹙2－0﹚×1＝﹣1
∴m＝2,∴P﹙0,2﹚
∴直线l的方程是l:y＝x＋2
∵直线l与圆M相切于P
∴圆M的半径为r＝|MP|＝√[﹙2－0﹚²＋﹙0－2﹚²]＝2√2
圆M的方程是﹙x－2﹚²＋y²＝8；
﹙2﹚假设存在满足条件的直线l′,与圆M相交于A、B,使得以AB为直径的圆经过坐标圆O
设直线l′：y＝x＋n,联立方程﹙x－2﹚²＋y²＝8,化简得：2x²＋﹙2n－4﹚x＋n²－4＝0,
设A﹙x1,x1＋n﹚,B﹙x2,x2＋n﹚
∴直线l′与圆M相交于A,B
∴x1,x2是方程2x²＋﹙2n－4﹚x＋n²－4＝0的两个实根
∴x1＋x2＝2－n,x1x2＝﹙n²－4﹚／2,且Δ＝﹙2n－4﹚²－4×2×﹙n²－4﹚＞0
解得﹣6＜n＜2
直径AB＝√[﹙x2－x1﹚²＋﹙x2－x1﹚²]＝√2[﹙x1＋x2﹚²－4x1x2]＝√2[﹙2－n﹚²－4×﹙n²－4﹚／2]＝√﹙﹣2n²－8n＋24﹚
设AB的中点为N
∴N[﹙X1＋X2﹚／2,﹙x1＋n＋x2＋n﹚／2]
∵圆N经过坐标原点O
∴ON＝√[﹙x1＋x2﹚／2]²＋[﹙x1＋x2＋2n﹚／2]²＝√[﹙2－n﹚／2]²＋[﹙2＋n﹚／2]²＝√﹙n²＋4﹚／2
∵AB＝2ON
∴√﹙﹣2n²－8n＋24﹚＝2√﹙n²＋4﹚／2
解得：n＝﹣1±√5,经检验,n＝﹣1±√5都符合条件
所以存在这样的直线l:y＝x﹣1＋√5或者y＝x﹣1－√5