△ABC是以抛物线x=2py的顶点为直角顶点的抛物线的内接三角形,求△AOB面积的最小值要详细答案在线等

Question

△ABC是以抛物线x=2py的顶点为直角顶点的抛物线的内接三角形,求△AOB面积的最小值
要详细答案 在线等

Answer 1

答：面积最小值为4p^2
△ABO是以抛物线x^2=2py的顶点O为直角顶点的抛物线的内接三角形
设点A（2pa,2pa^2),点B（2pb,2pb^2)
因为：AO⊥BO
所以：kao*kbo=-1
所以：ab=-1
三角形面积S=AO*BO/2
=√[(2pa)^2+(2pa^2)^2]*√[(2pb)^2+(2pb^2)^2] /2
=2p*2p*√(a^2+a^4)*(b^2+b^4)] /2
=(2p^2)* √[(ab)^2+(b^2)*(ab)^2+(a^2)*(ab)^2+(ab)^4]
=(2p^2)*√(1+b^2+a^2+1)
>=(2p^2)*√ (2+2|ab|)
=(2p^2)*√(2+2)
=4p^2
所以：△AOB面积的最小值为4p^2,此时OA=OB