如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似．其逆亦真．

Question

如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似．其逆亦真．

Answer 1

将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△′．G为重心，连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则△′就是△HCF．
（1）a²，b²，c²成等差数列⇒△∽△′．
若△ABC为正三角形，易证△∽△′．
不妨设a≥b≥c，有
CF=(1)/(2)√(2a2+2b2−c2)，
BE=(1)/(2)√(2c2+2a2−b2)，
AD=(1)/(2)√(2b2+2c2−a2)．
将a²+c²=2b²，分别代入以上三式，得
CF=(√(3))/(2)a，BE=(√(3))/(2)b，AD=(√(3))/(2)c．
∴CF：BE：AD=

作业帮用户 2017-10-19

问题解析

首先设△ABC的三边分别为a，b，c，三中线AD，BE，CF，根据重心的性质即可求得AD，BE，CF三边的长，则通过对应边的比相等证得命题成立；根据三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的

(3)/(4)，亦可证得逆命题正确．

名师点评

本题考点：

三角形的五心．

考点点评：

此题考查了三角形的重心的性质．注意相似三角形性质及三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的(3)/(4)性质的应用．

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