ABCD是圆的内接四边形,AC是圆的直径,BD垂直于AC,BD与AC的交点为E,F在DA的延长线上,连接BF,G在BA的延长线上,使得DG平行于BF,H在GF的延长线上,CH垂直于GF,求证：B,E,F,H四点共圆.

Question

ABCD是圆的内接四边形,AC是圆的直径,BD垂直于AC,BD与AC的交点为E,F在DA的延长线上,连接BF,G在BA的延长线上,使得DG平行于BF,H在GF的延长线上,CH垂直于GF,求证：B,E,F,H四点共圆.

Answer 1

如图所示：令圆心为坐标圆点  半径为2【这个是为了计算出E、B、F、H的坐标,然后根据BFH的坐标求出一个圆的方程,如可以就出就可以证明三点BFH共圆,再把E的坐标带入同一个方程,如符合关系式,则四点EBFH四点共圆】 所以E(o,o) B(根号2,根号2）F（-根号2,3根号2）【F的坐标可先求出y轴与BF的交点P,在根据P,B两点求出所在直线,从而得出F的y值.具体见下：B(根号2,根号2） P（0,2根号2）根据两点公式求直线方程：（x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)得直线方程：根号2x+根号2y=4  再把F的x值=-根号2（F的x值与A的x的值一样为-根号2）得F的y值3根号2.】再求出H的坐标【根据三角形HPE为等腰直角三角形】H（-2根号2,2根号2）
设EBFH的圆的方程为x^2+y^2+Dx+Ey+F=0  把点BFH三点的坐标带入方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 
求得D=根号2   E=-3根号2  F=0    所以EBHF的圆的方程为x^2+y^2+根号2x-3根号2y=0  
再把点E（0,0）的方程带入  满足圆的方程.所以EBFH四点共圆!