(2/3)E是角ACB的外角平分线,同样过A点分别作BD和CE的垂线,垂足为F,G;请问在(1),(2)的情况下,FG与三角形...(2/3)E是角ACB的外角平分线,同样过A点分别作BD和CE的垂线,垂足为F,G;请问在(1),(2)的情况下,FG

Question

(2/3)E是角ACB的外角平分线,同样过A点分别作BD和CE的垂线,垂足为F,G;请问在(1),(2)的情况下,FG与三角形...
(2/3)E是角ACB的外角平分线,同样过A点分别作BD和CE的垂线,垂足为F,G;请问在(1),(2)的情况下,FG与三角形三边(AB,BC,

Answer 1

不妨设BC为最大边
1、设AG、AF的延长线分别交BC于M、N,
因为BD是内角平分线
所以∠ABF＝∠NBF
因为AF⊥BD
所以∠AFB＝∠NBF＝90°
又因为BF＝BF
所以△ABF≌△NBF
所以AF＝NF,AB＝BN
同理可证AG＝MG,AC＝CM
所以FG是△AMN的中位线
所以FG＝MN/2
因为MN＝BC－BM－CN
即MN＝BC－(BN－MN)－(CM－MN)
整理得：MN＝AB＋AC－BC
所以FG＝(AB＋AC－BC)/2
2、
本题中F、N点与上题一样
同样有F是AN中点,AB＝BN
另外通过全等三角形同样可证明：
G是AM的中点,AC＝CM
因为CE为ABC的外角平分线
所以与上题的区别是M在BC的延长线上
此时MN＝BC＋CM－BN＝BC＋AC－AB
所以FG＝(BC＋AC－AB)/2