等边三角形ABC,AB=a,O为三角形的中心,过O点的直线交AB于M,交AC于N,求1.等边三角形ABC,AB=a,O为三角形的中心,过O点的直线交AB于M,交AC于N,求1/(OM)^2+1/(ON)^2的最大值.最小值不求导.

Question

等边三角形ABC,AB=a,O为三角形的中心,过O点的直线交AB于M,交AC于N,求1.
等边三角形ABC,AB=a,O为三角形的中心,过O点的直线交AB于M,交AC于N,求1/(OM)^2+1/(ON)^2的最大值.最小值 不求导.

Answer 1

先作OD⊥AB;OE⊥AC;则OD=OE=h=(a根号3)/6; 设MN与AB夹角α,那么,MN与AC夹角120°-α； MO=h/sinα；ON=h/sin(120°-α）； 则原式=1/MO^2+1/NO^2=12(sinα^2+sin(120°-α）^2)/a^2; 书写方便,设f(α）=sinα^2+sin(120°-α）^2=3/4+sinα^2/2+根号3sin2α/4 =1+sin(2α-30°）/2; 所以,fmax=3/2; 所以,原式最大值=18/a^2;MN∥BC时取最大值