如图，△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为底边作一个顶角为120°的等腰三角形△DBC，以D为顶点作∠EDF=60°，使点E，F分别在边AB，边AC上运动，G在AC延长线上且CG=BE，连接EF，GD．（1）求证：

Question

如图，△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为底边作一个顶角为120°的等腰三角形△DBC，以D为顶点作∠EDF=60°，使点E，F分别在边AB，边AC上运动，G在AC延长线上且CG=BE，连接EF，GD．

（1）求证：△BED≌△CGD；
（2）试判断当E，F点的位置变化时，是否影响△EAF周长的大小？若有影响，试说明怎样影响；若无影响，请求出△EAF的周长．

Answer 1

（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵DB=DC，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠EBD=∠GCD=90°，
在△EBD和△GCD中，

EB=CG

∠EBD=∠GCD

BD=CD

，
∴△EBD≌△GCD（SAS）；
（2）当E，F点的位置变化时，不影响△EAF周长的大小，周长为8，理由为：
延长AB至M，使BM=CF，连接MD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
又∠BDC=120°，
∴A、B、D、C共圆，
∴∠MBD=∠FCD，
∵BM=CF，BD=CD，
∴△BDM≌△CDF，
∴DM=DF，∠BDM=∠CDF，
∵∠EDF=60°，
∴∠EDM=∠BDE+∠BDM=∠BDE+∠CDF=∠BDC-∠EDF=60°，
∴∠EDG=∠EDF，
∵DM=DF，DE=DE，
∴△EDM≌△EDF，
∴EM=EF，
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+EM+AF=AE+BE+BM+AF=AB+CF+AF=AB+AC=4+4=8．