已知正方形ABCD中，以CD为边作等边三角形CED，连接BE与对角线AC交于点F，求证：EF=BF+CF．

Question

已知正方形ABCD中，以CD为边作等边三角形CED，连接BE与对角线AC交于点F，求证：EF=BF+CF．

Answer 1

证明：作∠ECM=45°，CM交EF于M，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCF=∠ACD=45°=∠ECM，BC=CD，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DCE=60°，CE=CD，
∴∠DCM=60°-45°=15°，BC=CE，
∴∠FCM=45°+15°=60°，∠CBF=∠CEM，
在△CBF和△CEM中

∠BCF=∠ECM

BC=CE

∠CBF=∠CEM

∴△CBF≌△CEM（ASA），
∴BF=EM，CM=CF，
∵∠FCM=60°，
∴△FCM是等边三角形，
∴CF=FM，
∴EF=EM+FM=BF+CF．