选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=（x-a）2+（x-b）2+（x-c）2+(a+b+c)23（a，b，c为实数）的最小值为m，若a-b+2c=3，求m的最小值．

Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=（x-a）²+（x-b）²+（x-c）²+((a+b+c)2)/(3)（a，b，c为实数）的最小值为m，若a-b+2c=3，求m的最小值．

Answer 1

因为f(x)＝(x−a)2+(x−b)2+(x−c)2+((a+b+c)2)/(3)
=3x2−2(a+b+c)x+a2+b2+c2+((a+b+c)2)/(3)
=3(x−(a+b+c)/(3))2+a2+b2+c2，…（2分）
所以x＝(a+b+c)/(3)时，f（x）取最小值a²+b²+c²，即m=a²+b²+c²，…（5分）
因为a-b+2c=3，由柯西不等式得[1²+（-1）²+2²]•（a²+b²+c²）≥（a-b+2c）²=9，…（8分）
所以m＝a2+b2+c2≥(9)/(6)＝(3)/(2)，
当且仅当(a)/(1)＝(b)/(−1)＝(c)/(2)，即a＝(1)/(2)，b＝−(1)/(2)，c＝1时等号成立，
所以m的最小值为(3)/(2)． …（10分）