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用数学归纳法证明不等式:1n+1n+1+1n+2+…+1n2>1(n∈N*且n>1).
题目详情
用数学归纳法证明不等式:
+
+
+…+
>1(n∈N*且n>1).
1 |
n |
1 |
n+1 |
1 |
n+2 |
1 |
n2 |
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)当n=2时,左边=
+
+
=
>1,∴n=2时成立(2分)
(2)假设当n=k(k≥2)时成立,即
+
+
+…+
>1
那么当n=k+1时,左边=
+
+
+…+
=
+
+
+
+…+
+
−
>1+
+
+…+
−
>1+(2k+1)•
−
>1+
>1
∴n=k+1时也成立(7分)
根据(1)(2)可得不等式对所有的n>1都成立(8分)
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
13 |
12 |
(2)假设当n=k(k≥2)时成立,即
1 |
k |
1 |
k+1 |
1 |
k+2 |
1 |
k2 |
那么当n=k+1时,左边=
1 |
k+1 |
1 |
k+2 |
1 |
k+3 |
1 |
(k+1)2 |
=
1 |
k |
1 |
k+1 |
1 |
k+2 |
1 |
k+3 |
1 |
k2+2k |
1 |
(k+1)2 |
1 |
k |
>1+
1 |
k2+1 |
1 |
k2+2 |
1 |
(k+1)2 |
1 |
k |
>1+(2k+1)•
1 |
(k+1)2 |
1 |
k |
k2−k−1 |
k2+2k+1 |
∴n=k+1时也成立(7分)
根据(1)(2)可得不等式对所有的n>1都成立(8分)
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