设An为（1+x）n+1的展开式中含xn-1项的系数，Bn为（1+x）n-1的展开式中二项式系数的和，n∈N*，则能使An≥Bn成立的n的最大值是．

Question

设A_n为（1+x）ⁿ⁺¹的展开式中含x^n-1项的系数，B_n为 （1+x）^n-1的展开式中二项式系数的和，n∈N^*，则能使A_n≥B_n成立的n的最大值是______．

Answer 1

∵（1+x）ⁿ⁺¹的展开式的通项为T_r+1

＝C

r n+1

xr
由题意可得，A_n=

C

n−1 n+1

=

C

2 n+1

，Bn＝2n−1
∵A_n≥B_n
∴

C

2 n+1

≥2n−1即n（n+1）≥2ⁿ
当n=1时，1×2≥2，满足题意
当n=2时，2×3≥2²，满足题意
当n=3时，3×4≥2³，满足题意
当n=4时，4×5≥2⁴，满足题意
当n=5时，5×6＜2⁵，不满足题意，且由于指数函数比二次函数增加的快
故当n≥5时，n（n+1）＜2ⁿ
∴n=4
故答案为：4