已知函数g（x）=4x−n2x是奇函数，f（x）=log4（4x+1）+mx是偶函数．（1）求m+n的值；（2）设h（x）=f（x）+12x，若g（x）＞h[log4（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．（3）若对任意的t

Question

已知函数g（x）=(4x−n)/(2x)是奇函数，f（x）=log₄（4^x+1）+mx是偶函数．
（1）求m+n的值；
（2）设h（x）=f（x）+(1)/(2)x，若g（x）＞h[log₄（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．
（3）若对任意的t∈R，不等式g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，
∴g（0）=0，即(40−n)/(20)=0，解之得n=1，…（2分）
由于f（x）=log₄（4^x+1）+mx，
∴f（-x）=log₄（4^-x+1）-mx=log₄（4^x+1）-（m+1）x，
∵f（x）=log₄（4^x+1）+mx是偶函数，
∴f（-x）=f（x），得到m=-(1)/(2)，由此可得：m+n的值为(1)/(2)；…（4分）
（2）∵h（x）=f（x）+(1)/(2)x=log₄（4^x+1），∴h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2），…（6分）
又∵g（x）=(4x−1)/(2x)=2^x-2^-x在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x≥1时，g（x）_min=g（1）=(3)/(2)…（8分）
由题意得到

2a+2＜4(3)/(2)

2a+1＞0

2a+2＞0

，解之得-(1)/(2)＜a＜3，得a的取值范围是：（-(1)/(2)，3）．…（9分）
（3）g（x）=2^x-2^-x在区间（-∞，+∞）上是增函数，
又∵g（-x）=-g（x），得g（x）是奇函数，
∴不等式g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0等价于g（t²-2t）＞-g（2t²-k）=g（-2t²+k）…（10分）
由g（x）在R上是增函数得，t²-2t＞-2t²+k对一切t∈R恒成立，…（12分）
即3t²-2t-k＞0对一切t∈R恒成立，，所以△=4+12k＜0，解之得k＜−(1)/(3)…（14分）