（2014•盐城三模）已知函数f（x）=lnx-ax，a为常数．（1）若函数f（x）在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）当a=1时，试比较f（m）与f（1m）的大小；（3）若函数f（x）有两个零点x1、x2，

Question

（2014•盐城三模）已知函数f（x）=lnx-ax，a为常数．
（1）若函数f（x）在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）当a=1时，试比较f（m）与f（(1)/(m)）的大小；
（3）若函数f（x）有两个零点x₁、x₂，试证明x₁x₂＞e²．

Answer 1

（1）由f（x）=lnx-ax，得：f′(x)＝(1)/(x)−a，
∵函数f（x）在x=1处的切线与x轴平行，
∴f′（1）=1-a=0，即a=1；
（2）当a=1时，f（x）=lnx-x，
∴f′(x)＝(1)/(x)−1＝(1−x)/(x)，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
令h(m)＝f(m)−f((1)/(m))＝lnm−m−(ln(1)/(m)−(1)/(m))＝2lnm−m+(1)/(m)，
则h′(m)＝(2)/(m)−1−(1)/(m2)＝(−m2+2m−1)/(m2)＝−((m−1)/(m))2≤0．
又∵h（1）=0，
①当0＜m＜1时，h（m）＞0，即f(m)＞f((1)/(m))；
②当m=1时，h（m）=0f(m)＝f((1)/(m))；
③当m＞1时，h（m）＜0即f(m)＜f((1)/(m))；
（3）证明：∵函数f（x）有两个零点x₁、x₂，
∴lnx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
∴(lnx1−lnx2)/(x1−x2)＝a，
欲证明x1x2＞e2，即证lnx₁+lnx₂＞2，
∵lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），
∴即证a＞(2)/(x1+x2)，
∴原命题等价于证明(lnx1−lnx2)/(x1−x2)＞(2)/(x1+x2)，
即证：ln(x1)/(x2)＞(2(x1−x2))/(x1+x相关问答x=x+1,x+=1,x++哪个效率高,为什么（本小题满分12分）二次函数f（x）满足且f（0）设h(x)1/x+1/x-5=1/6怎么算啊!请教一下请教微分df(g(x))=f'(g(x))*d(gx=x+1,x+=1,x++这三个表达式,哪个效率（2014•兰州）如图，直线y=mx与双曲线y=k使不等式∫x1sinttdt＞lnx成立的x的范围方程x的平方-3x-1=0怎么算?函数y=x的绝对值/x+x的图象我知道x≠0,但是∫xsin(x+1)dxf（x）=根号下1-x的平方,x的绝对值小于等于1首页语文数学英语物理化学历史政治生物其他Copyright © 2019 zaojiaoba.cn All Rights Reserved 版权所有 作业搜本站资料来自网友投稿及互联网，如有侵犯你的权益，请联系我们：[e-mail]湘ICP备12012010号)