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设函数.(1)若x=1是f(x)的极大值点,求a的取值范围.(2)当a=0,b=-1时,函数F(x)=f(x)-λx2有唯一零点,求正数λ的值.
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设函数
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(1)若x=1是f(x)的极大值点,求a的取值范围.
(2)当a=0,b=-1时,函数F(x)=f(x)-λx 2 有唯一零点,求正数λ的值.

(1)若x=1是f(x)的极大值点,求a的取值范围.
(2)当a=0,b=-1时,函数F(x)=f(x)-λx 2 有唯一零点,求正数λ的值.
▼优质解答
答案和解析
分析:
(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),,由f'(1)=0,得b=1-a.所以,由此能求出a的取值范围.(Ⅱ)因为函数F(x)=f(x)-λx2有唯一零点,即λx2-lnx-x=0有唯一实数解,设g(x)=λx2-lnx-x,则.令g'(x)=0,2λx2-x-1=0.由此进行分类讨论,能求出λ.
(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),,由f'(1)=0,得b=1-a.∴.…(2分)①若a≥0,由f'(x)=0,得x=1.当0<x<1时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减.所以x=1是f(x)的极大值点.…(4分)②若a<0,由f'(x)=0,得x=1,或x=.因为x=1是f(x)的极大值点,所以>1,解得-1<a<0.综合①②:a的取值范围是a>-1.…(6分)(Ⅱ)因为函数F(x)=f(x)-λx2有唯一零点,即λx2-lnx-x=0有唯一实数解,设g(x)=λx2-lnx-x,则.令g'(x)=0,2λx2-x-1=0.因为λ>0,所以△=1+8λ>0,方程有两异号根设为x1<0,x2>0.因为x>0,所以x1应舍去.当x∈(0,x2)时,g'(x)<0,g(x)在(0,x2)上单调递减;当x∈(x2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在(x2,+∞)单调递增.当x=x2时,g'(x2)=0,g(x)取最小值g(x2).…(9分)因为g(x)=0有唯一解,所以g(x2)=0,则即因为λ>0,所以2lnx2+x2-1=0(*)设函数h(x)=2lnx+x-1,因为当x>0时,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一解.因为h(1)=0,所以方程(*)的解为x2=1,代入方程组解得λ=1.…(12分)
点评:
本题考查函数的单调性、极值、零点等知识点的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
分析:
(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),,由f'(1)=0,得b=1-a.所以,由此能求出a的取值范围.(Ⅱ)因为函数F(x)=f(x)-λx2有唯一零点,即λx2-lnx-x=0有唯一实数解,设g(x)=λx2-lnx-x,则.令g'(x)=0,2λx2-x-1=0.由此进行分类讨论,能求出λ.
(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),,由f'(1)=0,得b=1-a.∴.…(2分)①若a≥0,由f'(x)=0,得x=1.当0<x<1时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减.所以x=1是f(x)的极大值点.…(4分)②若a<0,由f'(x)=0,得x=1,或x=.因为x=1是f(x)的极大值点,所以>1,解得-1<a<0.综合①②:a的取值范围是a>-1.…(6分)(Ⅱ)因为函数F(x)=f(x)-λx2有唯一零点,即λx2-lnx-x=0有唯一实数解,设g(x)=λx2-lnx-x,则.令g'(x)=0,2λx2-x-1=0.因为λ>0,所以△=1+8λ>0,方程有两异号根设为x1<0,x2>0.因为x>0,所以x1应舍去.当x∈(0,x2)时,g'(x)<0,g(x)在(0,x2)上单调递减;当x∈(x2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在(x2,+∞)单调递增.当x=x2时,g'(x2)=0,g(x)取最小值g(x2).…(9分)因为g(x)=0有唯一解,所以g(x2)=0,则即因为λ>0,所以2lnx2+x2-1=0(*)设函数h(x)=2lnx+x-1,因为当x>0时,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一解.因为h(1)=0,所以方程(*)的解为x2=1,代入方程组解得λ=1.…(12分)
点评:
本题考查函数的单调性、极值、零点等知识点的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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