已知正系数5次多项式f（x）满足以下两个条件．（a）对任意x≠0，均有f（x）=x6f（1x）；（b）f（2）=10f（1），则f(3)f(2)的取值范围为．

Question

已知正系数5次多项式f（x）满足以下两个条件．
（a）对任意x≠0，均有f（x）=x⁶f（ (1)/(x)）；
（b）f（2）=10f（1），
则 (f(3))/(f(2))的取值范围为___．

Answer 1

设正系数5次多项式f（x）=ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f，其中a、b、c、d、e、f>0．
则由f（x）=x⁶f（(1)/(x)），可得 ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f=x⁶•（a((1)/(x))5+b((1)/(x))4+c((1)/(x))3+d((1)/(x))2+e(1)/(x)+f）
=ax+bx²+cx³+dx⁴+ex⁵+fx⁶，
∴f=0，a=e，b=d，故 f（x）=ax⁵+bx⁴+cx³+bx²+ax．
再根据f（2）=10f（1），可得32a+16b+8c+4b+2a=10（a+b+c+b+a），
求得c=7a，故f（x）=ax⁵+bx⁴+7ax³+bx²+ax，
∵(f(3))/(f(2))=(435a+90b)/(90a+20b)=(435+90•(b)/(a))/(90+20•(b)/(a))=(87+18•(b)/(a))/(18+4•(b)/(a))，(b)/(a)>0，设t=(b)/(a)>0，
则(f(3))/(f(2))=(18t+87)/(4t+18)=(9(2t+9)+6)/(2(2t+9))=(9)/(2)+(3)/(2t+9)∈（(9)/(2)，(29)/(6)）．