一道代数题（高手请进）已知实数a,b,c,d使得方程（x-a)(x+b)-24=(x+c)(x+d)对一切实数x均成立,那么当代数式a²+b²+c²+d²+ab+cd-4a-4b+8c+8d+10取到最小值时,a+b+c+d的值为多少?

Question

一道代数题（高手请进）
已知实数a,b,c,d使得方程
（x-a)(x+b)-24=(x+c)(x+d)
对一切实数x均成立,那么当代数式
a²+b²+c²+d²+ab+cd-4a-4b+8c+8d+10
取到最小值时,a+b+c+d的值为多少?

Answer 1

有题目的条件得:
X2-(A-B)X-AB-24=X2+(C+D)X+CD
即:(B-A)X-AB-24=(C+D)X+CD
所以有B-A=C+D AB+CD=-24
由a²+b²+c²+d²+ab+cd-4a-4b+8c+8d+10
=(a+b)²+(c+d)²-ab-cd-4a-4b+8c+8d+10
=(a+b)²+(a-b)²+24-4a-4b+8b-8a+10
=2a²+2b²-12a+4b+34如需要它取最小值则有:
A-3=0 B+1=0 所以A=3 B=-1
所以A+B+C+D=2B=-2