根据在数1和100之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,我们易得这n+2项的几何平均数为10

Question

根据在数1 和100之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,我们易得这n+2项的几何平均数为10

Answer 1

设这n+2个数构成递增的等比数列为a1,a2,a3,...,a(n+2),公比为q.
其中,a1=1,a(n+2)=100
则
a2=q
a3=q²
.
a(n+2)=q^(n+1)=100
这n+2项的乘积S：
S = a1*a2*a3*...*a(n+2) = 1*q*q²*...*q^(n+1)
= q^[1+2+...+(n+1)]
= q^[(n+1)(n+2)/2)]
= [q^(n+1)]^[(n+2)/2)]
= 100^[(n+2)/2)]
几何平均数：S^[1/(n+2)] = 100^(1/2) = 10