如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=nπR2360，由弧长l=nπR180，得S扇形=nπR2360=12•nπR180•R=12lR．通过观察，我们发现S扇形=12lR类似于S三角形=12×底×高．类比扇形，我们探索扇环

Question

如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S_扇形=(nπR2)/(360)，由弧长l=(nπR)/(180)，得S_扇形=(nπR2)/(360)=(1)/(2)•(nπR)/(180)•R=(1)/(2)lR．通过观察，我们发现S_扇形=(1)/(2)lR类似于S_三角形=(1)/(2)×底×高．
类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环）的面积公式及其应用．
（1）设扇环的面积为S_扇环，

AB

的长为l₁，

CD

的长为l₂，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S_梯形=(1)/(2)×（上底+下底）×高，用含l₁，l₂，h的代数式表示S_扇环，并证明；
（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

（1）S_扇环=(1)/(2)（l₁+l₂）h，
证明：设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由l=(nπr)/(180)，得R=(180l1)/(nπ)，r=(180l2)/(nπ)
所以图中扇环的面积S=(1)/(2)×l₁×R-(1)/(2)×l₂×r
=(1)/(2)l₁•(180l1)/(nπ)-(1)/(2)l₂•(180l2)/(nπ)
=(90)/(nπ)（l₁²-l₂²）
=(90)/(nπ)（l₁+l₂）（l₁-l₂）
=(1)/(2)•(180)/(nπ)•（(nπ)/(180)R+(nπ)/(180)r）（l₁-l₂）
=(1)/(2)（l₁+l₂）（R-r）
=(1)/(2)（l₁+l₂）h，
故猜想正确．

（2） 根据题意得：l₁+l₂=40-2h，
则S_扇环=(1)/(2)（l₁+l₂）h
=(1)/(2)（40-2h）h
=-h²+20h
=-（h-10）²+100
∵-1<0，
∴开口向下，有最大值，
当h=10时，最大值是100，
即线段AD的长h为10m时，花园的面积最大，最大面积是100m²．