来一起探讨下这个高数题!题目：设函数f(x)在(0,+∞)内有界且可导,则()A.当limf(x)[x->+∞]=0时,必有limf`(x)[x->+∞]=0B.当limf`(x)[x->+∞]存在时,必有limf`(x)[x->+∞]=0C.当limf(x)[x->0+]=0时,必有limf`(x)[x->0+]=0D

Question

来一起探讨下这个高数题!
题目：
设函数f(x)在(0,+∞)内有界且可导,则( )
A.当limf(x)[x->+∞]=0时,必有limf`(x)[x->+∞]=0
B.当limf`(x)[x->+∞]存在时,必有limf`(x)[x->+∞]=0
C.当limf(x)[x->0+]=0时,必有limf`(x)[x->0+]=0
D.当limf`(x)[x->0+]存在时,必有limf`(x)[x->0+]=0
对于C,D可以举例y=sinx；
对于B.f(x)在(0,+∞)内可导,则f(x)在(0,+∞)内连续.
由拉格朗日中值定理:x>0时,存在一个 L 属于(x,2x),使得xf`(L)=f(2x)-f(x).
所以limxf`(L)[x->+∞]=lim{f(2x)-f(x)}[x->+∞].而x->+∞则2x->+∞因此
L->+∞. 既有limxf`(L)[L->+∞,x->+∞]=limf(2x)[x->+∞]-limf(x)[x->+∞].
假若limf`(L)[L->+∞]!=0.又x->+∞那么lim{xf`(L)}[L->+∞,x->+∞]=limf(2x)
[x->+∞]- limf(x)[x->+∞] -->∞.这与f(x)有界矛盾.故limf`(L)[L->+∞]必
等于0.所以B正确!
对于A. 由拉格朗日中值定理:x>0,h>0(h为常数)时,存在一个 L 属于(x,x+h)时,使
得hf`(L)=f(x+h)-f(x).有lim{hf`(L)}[x->+∞] =lim{f(x+h)-f(x)}[x->+∞]
而imf(x)[x->+∞]=0则imf(x+h)[x->+∞]=0 .又x->+∞时x+h->+∞ ,
L->+∞.
所以lim{hf`(L)}[x->+∞] =limf(x+h)[x->+∞] -limf(x)[x->+∞] =0
即limf`(L)[L->+∞]=0
这样看来,D也对 . .
但是这样个例子y=sinx^3/x,它limf(x)[x->+∞]=0,而limf`(x)[x->+∞]=∞;

请帮我分析下我对D的分析证明,那里出了错!

Answer 1

在A的“证明”中lim{hf`(L)}[x->+∞] =limf(x+h)[x->+∞] -limf(x)[x->+∞] =0只能得到
limf`(L)[x->+∞]=0
其中L是和x,h有关的数,并不能完全独立,所以无法得到
limf`(L)[L->+∞]=0
打个类似的比方相当于只有一个收敛于0的子列.
如果仍然不理解的话不妨把上述极限按epsilon-delta形式的定义写一下.