若对于任意实数x,不等式（x+1）的绝对值+（x-2）的绝对值大于a恒成立,则a的范围

Question

若对于任意实数x,不等式（x+1）的绝对值+（x-2）的绝对值大于a 恒成立,则a的范围

Answer 1

由题意得
|x+1| + |x-2| > a
令f(x) = |x+1| + |x-2|
当x<=-1时
f(x) = -x-1-x+2 = 1-2x
因为f(x) = 1-2x 是一个减函数,所以f(x)在x=-1取得最小值3
∴当x<=-1时、f(x) >= 3
当2>x>-1时,可得
f(x) = x+1+2-x=3
∴当2>x>-1时、f(x) = 3
当x>=2时,可得
f(x) = x+1+x-2=2x-1
因为f(x) = 2x-1 是一个增函数,所以f(x)在x=2取得最小值3
∴当x>=2时、f(x) >= 3
综上所述、对于任意实数x,都有f(x) = |x+1| + |x-2| >= 3
所以 当 a < 3 的时候, |x+1| + |x-2| > a恒成立