对于函数f(x)＝a+22x+1(x∈R)，（1）用定义证明：f（x）在R上是单调减函数；（2）若f（x）是奇函数，求a值；（3）在（2）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0．

Question

对于函数f(x)＝a+(2)/(2x+1)(x∈R)，
（1）用定义证明：f（x）在R上是单调减函数；
（2）若f（x）是奇函数，求a值；
（3）在（2）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0．

Answer 1

（1）证明；设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=(2)/(2x1+1)-(2)/(2x2+1)=(2x2−2x1)/((2x1+1)(2x2+1))
∵y=2^x在实数集上是增函数且函数值恒大于0，故2x2−2x1＞0，2x1+1＞0，2x2+1＞0．
即f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴f（x）在R上是单调减函数
（2）由（1）的f（x）在R上是单调减函数，即函数定义域为R，
∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0⇒a=-1．
（3）有（1）（2）可得f（x）在R上是单调减函数且是奇函数
∴f（2t+1）+f（t-5）≤0．转化为f（2t+1）≤-f（t-5）=f（-t+5），⇒2t+1≥-t+5⇒t≥(4)/(3)
故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0的解集为：{t|t≥(4)/(3)}．