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对于函数f(x)=a+22x+1(x∈R),(1)用定义证明:f(x)在R上是单调减函数;(2)若f(x)是奇函数,求a值;(3)在(2)的条件下,解不等式f(2t+1)+f(t-5)≤0.
题目详情
对于函数f(x)=a+
(x∈R),
(1)用定义证明:f(x)在R上是单调减函数;
(2)若f(x)是奇函数,求a值;
(3)在(2)的条件下,解不等式f(2t+1)+f(t-5)≤0.
2 |
2x+1 |
(1)用定义证明:f(x)在R上是单调减函数;
(2)若f(x)是奇函数,求a值;
(3)在(2)的条件下,解不等式f(2t+1)+f(t-5)≤0.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明;设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=
-
=
∵y=2x在实数集上是增函数且函数值恒大于0,故2x2−2x1>0,2x1+1>0,2x2+1>0.
即f(x1)-f(x2)>0.
∴f(x)在R上是单调减函数
(2)由(1)的f(x)在R上是单调减函数,即函数定义域为R,
∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0⇒a=-1.
(3)有(1)(2)可得f(x)在R上是单调减函数且是奇函数
∴f(2t+1)+f(t-5)≤0.转化为f(2t+1)≤-f(t-5)=f(-t+5),⇒2t+1≥-t+5⇒t≥
故所求不等式f(2t+1)+f(t-5)≤0的解集为:{t|t≥
}.
2 |
2x1+1 |
2 |
2x2+1 |
2x2−2x1 |
(2x1+1)(2x2+1) |
∵y=2x在实数集上是增函数且函数值恒大于0,故2x2−2x1>0,2x1+1>0,2x2+1>0.
即f(x1)-f(x2)>0.
∴f(x)在R上是单调减函数
(2)由(1)的f(x)在R上是单调减函数,即函数定义域为R,
∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0⇒a=-1.
(3)有(1)(2)可得f(x)在R上是单调减函数且是奇函数
∴f(2t+1)+f(t-5)≤0.转化为f(2t+1)≤-f(t-5)=f(-t+5),⇒2t+1≥-t+5⇒t≥
4 |
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故所求不等式f(2t+1)+f(t-5)≤0的解集为:{t|t≥
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