请问三角函数中两个互为反函数的为什么定义域和值域不是互换呢?

Question

请问三角函数中两个互为反函数的为什么定义域和值域不是互换呢?

Answer 1

举例来说：正弦函数y=sinx,它的定义域为R.值域为[-1,+1].
它的反函数是【反正弦函数】,我们记为y=arc sin x.
这个反函数的定义域是[-1,+1]. 值域是[-π/2,+π/2].
为什么定义域和值域不是互换呢?因为所谓函数,函数值必须是“单一的”.（这个问题早在学习对应,映射,函数的时候就规定过了）.不然的话,就成了【多值函数】啦,一个自变量对应了好多个函数值.（这不符合高中的知识范围）.
你想到的这个问题也很有实际意义.所以,为了表示出这“许许多多个”函数值,在50多年前教科书里,我们把y=arc sin x写成y=Arc sin x.这就表示出了【无穷多个函数值】.假如只是想表示【主值区间】的一个函数值,就用小写的arc,.
这是前苏联与西方的表示方法.后来这么多年,我们都是一直沿用小写的arc sin x的写法.假如想表示出【无穷多个函数值】,那就加上周期的若干倍吧.