必赏.例如函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),那么这个函数一定是对数函数l例如函数f（xy）=f（x）+f（y）一定是对数函数吗

Question

必赏.例如函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),那么这个函数一定是对数函数
l例如函数f（xy）=f（x）+f（y）一定是对数函数吗

Answer 1

不一定.
1.若x=0包含在定义域内,则此函数必为零函数,即f(x)=0.
因为,f(0)=f(0*0)=f(0)+f(0)=2f(0),移项即得f(0)=0,
于是,f(0)=f(0*x)=f(0)+f(x)=f(x),f(x)=0.
2.若x=0不包含在定义域内,此函数也未必是对数函数.
我作了个不完全的猜测,具有这个性质的函数应该是与对数有关的函数,因为函数总共有6类基本初等函数（这是大学的内容）,其中只有对数函数具有这个特性.
例如：f(x)=log x,f(x)=2log x,f(x)=log x+ln x等,也有这种性质.
认真学习的好同学,希望你在数学的道路上越走越远,永远保持这颗探索的心.