已知抛物线y=a（x-3）2+254过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②点C在⊙D外；③在抛物线上存在一点E，

Question

已知抛物线y=a（x-3）²+(25)/(4)过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：
①抛物线的对称轴是直线x=3；
②点C在⊙D外；
③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；
④直线CM与⊙D相切．
正确的结论是（　　）

A．①③
B．①④
C．①③④
D．①②③④

Answer 1

由抛物线y=a（x-3）²+(25)/(4)可知：抛物线的对称轴x=3，故①正确；
∵抛物线y=a（x-3）²+(25)/(4)过点C（0，4），
∴4=9a+(25)/(4)，解得：a=-(1)/(4)，
∴抛物线的解析式为y=-(1)/(4)（x-3）²+(25)/(4)，
令y=0，则-(1)/(4)（x-3）²+(25)/(4)=0，解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）；
∴AB=10，
∴AD=5，
∴OD=3
∵C（0，4），
∴CD=√(OC2+OD2)=5，
∴CD=AD，
∴点C在圆上，故②错误；
过点C作CE∥AB，交抛物线与E，
∵C（0，4），
代入y=-(1)/(4)（x-3）²+(25)/(4)得：4=-(1)/(4)（x-3）²+(25)/(4)，
解得：x=0，或x=6，
∴CE=6，
∴AD≠CE，
∴四边形ADEC不是平行四边形，故③错误；
由抛物线y=a（x-3）²+(25)/(4)可知：M（3，(25)/(4)），
∵C（0，4），
∴直线CM为y=(3)/(4)x+4，直线CD为：y=-(4)/(3)x+4，
∴CM⊥CD，
∵CD=AD=5，
∴直线CM与⊙D相切，故④正确；
故选B．