立体几何问题在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是直角梯形,其中AB//CD,∠ABC=90°,且AB=4,BC=CD=2,又PA=PD=2,PB=PC,M是AD的中点.（1）证明PM⊥平面ABC；（2）求直线PB与底面ABC所成角的正弦值；（3）求点C到平面P

Question

立体几何问题
在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是直角梯形,其中AB//CD,∠ABC=90°,且AB=4,BC=CD=2,又PA=PD=2,PB=PC,M是AD的中点.
（1）证明PM⊥平面ABC；
（2）求直线PB与底面ABC所成角的正弦值；
（3）求点C到平面PAB的距离.

Answer 1

（1）证明：取BC中点N,连接PN、MN,则MN是梯形ABCD的中位线,∵AB⊥BC,∴MN⊥BC
又PB=PC,N是BC中点,∴PN⊥BC,同理PM⊥AD
∴BC⊥平面PMN
∴PM⊥BC
梯形ABCD中,AB‖CD,∴AD与BC必定相交
∴PM⊥面ABCD
过点D作DE‖BC交AB于E,则四边形EBCD为平行四边形,角DEA为90°,∴BC=DE=2,BE=CD=2,∴AD=2根号2
M是AD中点,∴AM=根号2
∴Rt△APM中,PM=根号2
MN是中位线,∴MN=1/2（AB+CD）=3
△PMN中,角PMN=90°,∴PA=根号11
同理△PBN中,BN=1,∴PB=根号12
∵PM⊥平面ABC,
∴角PBM为直线PB与底面ABC所成角
∴sin角PBM=PM/PB=根号2/根号12=（根号6）/6
连接AC,设点C到平面PAB的距离为h
∵Vp-abc=Vc-abp
∴1/3Sabp*h=1/3PM*Sabc
△ABP中,cos角PBA=（12+16-4）/（2*根号12*4）=（根号3）/2
∴sin角PBA=1/2,
∴Sabp=1/2*1/2*4*根号12=
根号12
Sabc=1/2*4*2=4
∴h=（4*根号2）/根号12=（2根号6）/3