映射定义中有x按照法则f有唯一确定的y与之相对应,而函数只是一种映射,应该不得与映射的定义相驳,但为什么又能出现多值函数?[如果给定一个对应法则,按这个法则,对于每一x（属于D)总有确

Question

映射定义中有x按照法则f有唯一确定的y与之相对应,而函数只是一种映射,应该不得与映射的定义相驳,但为什么又能出现多值函数?[如果给定一个对应法则,按这个法则,对于每一x（属于D)总有确定的y值相对应,但这个y不总是唯一的,我们称这个法则确定了一个多值函数]
我想知道为什么映射定义中y必须是唯一确定,但多值函数定义中的y却可以不总是唯一的,这二个定义是不是相驳,或者是我的理解有问题?

Answer 1

问题出在函数的定义里,在早些年出版的教材里,函数的定义里没有“唯一”两个字,因此函数就有单值函数与多值函数的区分,按那种定义,多值函数是函数；近年出版的教材里,函数的定义里有“唯一”两字,因此函数都是单值的,从这个意义上说,多值函数就不是函数了.
这实际上并没有涉及数学的本质问题,因为在多值函数是函数的概念下,多值函数也是需要分拆成若干个单值函数再进行研究的；在函数都是单值函数的概念下,方程确定的隐函数也仍然会遇到多值的情形,还是需要分拆成单值的情形来研究.
这种定义的改变,并没有改变数学问题的实质,其实是无关紧要的,只是给数学的初学者带来困惑而已,我以为这种定义的改变是没有多大意思的,就象0是不是自然数的问题一样,