一类微分方程求解f(x,y)dxg(x,y)dy=0,也就是所谓的可分离变量的方程.是不是都是F(x,y)=c全微分后的解?但是,假如对f(x,y)求x的偏积分,再求y的偏微分,再减去g(x,y),所得未必是关于只关于y的函数.问

Question

一类微分方程求解
f(x,y)dx g(x,y)dy=0,也就是所谓的可分离变量的方程.是不是都是F(x,y)=c全微分后的解?但是,假如对f(x,y)求x的偏积分,再求y的偏微分,再减去g(x,y),所得未必是关于只关于y的函数.问题也许在于xy不独立,但形式上没有问题啊.还是解法没问题呢

Answer 1

f(x,y)dx+g(x,y)dy=0的解不一定是F(x,y)=c
如果存在F,使df=f(x,y)dx+g(x,y)dy,那么解是F(x,y)=c,也就是Fx=f(x,y) Fy=g(x,y)