凸函数f(x)连续,g(x)[0,1]上可积分,复合函数f(g(x))[0,1]上可积分,证明：f(∫(0,1)g(x)dx)

Question

凸函数f(x)连续,g(x)[0,1]上可积分,复合函数f(g(x))[0,1]上可积分,
证明：
f(∫(0,1)g(x)dx)

Answer 1

这其实是复合形式的琴生不等式,证明过程跟一般形式的琴生不等式差不多.
由于f(x)凸函数,所以f''(x)>0
设x0=∫(0,1)g(x)dx
把f(x)在x0点展成二阶泰勒级数,
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(α)(x-x0)^2/2 >f(x0)+f'(x0)(x-x0)
即f(x) >f(x0)+f'(x0)(x-x0)
所以f(x0)< f(x)-f'(x0)(x-x0)
把x换成g(x)仍然成立,所以f(x0)< f(g(x))-f'(x0)(g(x)-x0)
所以两边在(0,1)上求积分,得到
f(x0)< ∫(0,1)f(g(x)dx-∫(0,1)f'(x0)(g(x)-x0)dx= ∫(0,1)f(g(x))dx-f'(x0)∫(0,1)g(x)dx-f'(x0)x0= ∫(0,1)f(g(x))dx
所以f(x0)< ∫(0,1)f(g(x))dx.
把x0=∫(0,1)g(x)dx带入即可得到：
f(∫(0,1)g(x)dx)