设函数f(x)连续,f(x)=e^x+∫(x,o)(t-x)f(t)dt,求f(x)

Question

设函数f(x)连续,f(x)=e^x+ ∫(x,o) (t-x)f(t)dt,求f(x)

Answer 1

∫(x,o)中,x是下限,0是上限吗?如果是的话,答案为：
f(x)=e^x+ ∫(x,o) (t-x)f(t)dt=e^x+ x∫(0,x)f(t)dt-∫(0,x)t*f(t)dt,.1）
两边求导,得：f'(x)=e^x+x*f(x)+∫(0,x)f(t)dt-x*f(x)=e^x+∫(0,x)f(t)dt,.2）
两边求导,得：f''(x)=e^x+f(x),f''(x)-f(x)=e^x,得f(x)=C1*e^(-x)+C2*e^x+1/2*xe^x,.3）
将3）式代入2）式,得：1/2+C1-C2=0,.4)
将3）式代入1）式,得：1-C1-C2=0,.5)
4),5)联立,得C1=1/4,C2=3/4,.6）
将6）式代入3）式,得：f(x)=1/4*e^(-x)+3/4*e^x+1/2*xe^x