设f(x)=定积分(ln(1+t)/t)dt(x>0),上限x,下限1,求f(x)+f(1/x)设f(x)=∫[1,x]ln(1+t)/tdt令u=1/t=∫[1,1/x]uln(1+1/u)d1/u=∫[1,1/x]-[ln(1+u)-lnu]/udu=∫[1,1/x]-ln(1+u)/udu+∫[1,1/x]lnu/udu=-f(1/x)+∫[1,1/x]lnu/udu=-f(1/x)

Question

设f(x)=定积分(ln(1+t)/t)dt(x>0),上限x,下限1,求f(x)+f(1/x)
设 f(x)=∫[1,x] ln(1+t)/t dt 令u=1/t
=∫[1,1/x] uln(1+1/u) d1/u
=∫[1,1/x] -[ln(1+u)-lnu] / udu
=∫[1,1/x] -ln(1+u) / udu+ ∫[1,1/x] lnu / udu
=-f(1/x)+∫[1,1/x] lnu / udu
=-f(1/x)+∫[1,1/x] lnu dlnu
=-f(1/x)+(lnu)^2/2 | [1,1/x]
=-f(1/x)+(ln1/x)^2/2
∴f(x)+f(1/x)=(ln1/x)^2/2
最后一步为什么直接是f(x)+f(1/x) 刚开始的时候不是f(x)=.为什么从第二行开始代1/x

Answer 1

这是方程的变化.
第一步和最后一步建立关系即为：
f(x)=-f(1/x)+(ln1/x)^2/2
把等号后面的-f（1/x）移到等号的左边,即得到：
f(x)+f(1/x)=(ln1/x)^2/2.