导函数一定连续么函数可导必定连续,那导函数也连续么

Question

导函数一定连续么
函数可导必定连续,那导函数也连续么

Answer 1

不一定
考虑函数
f(x) = x^2* sin(1/x),x > 0
0,x = 0
显然f(x)在x不为0时可导且连续,下面考察f(x)在x=0时的情况
左极限f(0-) = 0
右极限f(0+) = 0,所以f(x)在x=0处连续
左导数f'(0-) = 0,
右导数f'(0+) = lim(x->0+) [f(x) -f(0)]/x = lim f(x)/x = 0
所以f(x)在x=0处导数存在
但是x>0时,f'(x) = 2x * sin(1/x) - cos(1/x),在x->0+时没有极限,所以导函数在x=0处不连续