如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，3），点B的坐标（-2，0），点O为原点．（1）求过点A，O，B的抛物线解析式；（2）在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，请直接写出满足条件

Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，√(3)），点B的坐标（-2，0），点O为原点．
（1）求过点A，O，B的抛物线解析式；
（2）在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，请直接写出满足条件的点C的坐标；
（3）将原点O绕点B逆时针旋转120°后得点O′，判断点O′是否在抛物线上，请说明理由；
（4）在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点E，线段OE把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOE面积比为2：3，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设y=ax²+bx+c，根据题意得

4a−2b+c＝0

a+b+c＝√(3)

c＝0

，
解得

a＝(√(3))/(3)

b＝(2)/(3)√(3)

c＝0

，
所以y=(√(3))/(3)x²+(2)/(3)

作业帮用户 2017-10-22

问题解析

（1）根据抛物线经过点A，O，B，运用待定系数法就可以直接求出抛物线的解析式；
（2）过点A作x轴的垂线与x轴的交点是C，作CA⊥AB于A，交x轴于点C，这就是满足条件的C，利用解直接三角形就可以求出C点的坐标；
（3）由旋转的旋转，求出O′的坐标，然后代入抛物线的解析式就可以判断该点是否在抛物线上；
（4）由A、B的坐标可以求出直线AB的解析式，设出点P的坐标，就可以表示出E的坐标，利用面积之比建立等量关系根据两种不同的情况就可以求出P的解析式．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；勾股定理的逆定理．

考点点评：

本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，三角形的面积，勾股定理的逆定理的运用．

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