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已知三次方程x3+ax2+2x+b=0有三个实数根，它们分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a的取值范围是．
题目详情
已知三次方程x3+ax2+2x+b=0有三个实数根，它们分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a的取值范围是 ___ ．
▼优质解答
答案和解析
因为抛物线的离心率为1，
所以1是方程x3+ax2+2x+b=0的根，
可知b=-a-3，
x3+ax2+x+b=（x-1）[x2+（a+1）x+a+3]=0，
又椭圆的离心率大于0小于1，双曲线大于1，
所以x2+（a+1）x+a+3=0的两根分别在（0，1）（1，+∞）上
令g（x）=x2+（a+1）x+a+3，
则
，
得-3＜a＜-
故答案为：-3＜a＜-
所以1是方程x3+ax2+2x+b=0的根，
可知b=-a-3，
x3+ax2+x+b=（x-1）[x2+（a+1）x+a+3]=0，
又椭圆的离心率大于0小于1，双曲线大于1，
所以x2+（a+1）x+a+3=0的两根分别在（0，1）（1，+∞）上
令g（x）=x2+（a+1）x+a+3，
则
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得-3＜a＜-
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故答案为：-3＜a＜-
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