抛物线的顶点在原点,它的准线过椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2抛物线的顶点在原点,它的准线过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>1)的一个焦点F1,且垂直于椭圆的长轴,抛物线与椭圆的交点是M（-2/3,2根号6/3),求抛物线

Question

抛物线的顶点在原点,它的准线过椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2
抛物线的顶点在原点,它的准线过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>1)的一个焦点F1,且垂直于椭圆的长轴,抛物线与椭圆的交点是M（-2/3,2根号6/3),求抛物线和椭圆方程

Answer 1

答：
椭圆x²/a²+y²/b²=1,a>b>1
c²=a²-b²
焦点（-√(a²-b²),0)和(√(a²-b²),0）在x轴上
抛物线的顶点在原点（0,0）,准线经过焦点之一
则抛物线的开口向右或者向左,y²=2px
准线x=-p/2在经过其中一个焦点,椭圆与抛物线交于点M（-2/3,2√6/3）
所以：抛物线开口向左,焦点（p/2,0）
（2√6/3)²=2p*(-2/3)
求得：p=-2
所以：抛物线为y²=-4x
所以：√(a²-b²)=-p/2=1
a²-b²=1
点M代入椭圆方程得：(4/9)/a²+(24/9)/b²=1
联立求得：a²=4,b²=3
所以：椭圆方程为x²/4+y²/3=1
所以：抛物线方程为y²=-4x