已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)与双曲线x²/m²-y²/n²=1(m>0,n>0)有相同的焦点（-c,0）和（c,0）,若c是a、m的等比中项,n²是2m²与c²的等差中项,则椭圆的离心率是?答案

Question

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)与双曲线x²/m²-y²/n²=1(m>0,n>0)
有相同的焦点（-c,0）和（c,0）,若c是a、m的等比中项,n²是2m²与c²的等差中项,则椭圆的离心率是?
答案是1/2

Answer 1

对椭圆：c^2=a^2-b^2
对双曲线:c^2=m^2+n^2
若c是a、m的等比中项,则c^2=am
n²是2m²与c²的等差中项.,则2n^2=2m^2-c^2
e^2=(c/a)^2=m^2/c^2=m^2/(m^2+n^2)=3n^2/(3n^2+n^2)=3/4
因e>0,所以e=√3/2