请说明最后一步(x-1/4)^2+y^2=1/16如何得来?参数方程：已知直线C1：x=1+tcosa,y=tsina（t为参数）;圆C2:=cosB,y=sinB,（B为参数）.过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A.P为OA的中点.当a变化时,求p点轨迹的参

Question

请说明最后一步(x-1/4)^2+y^2=1/16 如何得来?
参数方程：已知直线C1：x=1+tcosa,y=tsina （t 为参数）; 圆C2:=cosB,y=sinB,（B为参数）.过坐标原点O作C1的垂线 ,垂足为A.P为OA的中点.当a变化时,求p点轨迹的参数方程 ,并指出其为什么曲线.
设P（m,n）,则有A(2m,2n)
C1 :y=(x-1)tana
由题意可知OA的斜率k=-1/tana
将A坐标代入C1,得2mtana-tana=2n
求得n=-m/tana
所以 tana=-m/n 即 -2m^2/n+m/n=2n(x-1/4)^2+y^2=1/16
所以该曲线为圆心在（1/4,0）半径为1/4的圆

Answer 1

易得C1的方程是y = tana * (x - 1)
则垂线方程为y = - cota+b,因为垂线过原点,所以b=0
两条直线求交点,显然可以得到A坐标
将A坐标折半,得到P坐标为（tana/2(tana+cota),-1/2(tana + cota)）
令k = tana,则P坐标为（k^2/2(k*2+1),-k/2(k^2+1)）
二者平方相加,得到x^2+y^2=(1/4)*(k^4+k^2)/(k^4+2k^2+1),
即(1/4) * (k^2+1)k^2/(k^2+1)^2,
它可以化简为(1/4)*k^2/(k^2+1),恰好是x的一半
因而x^2+y^2=x/2,化简得到16(x-1/4)^2+16y^2=1,
它是(1/4,0)为圆心,1/4为半径的圆
这里更加清楚点哦
希望对你有所帮助